Trojúhelník 20 30 30

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 30
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 282,84327124746
Obvod trojúhelníku: o = 80
Semiperimeter (poloobvod): s = 40

Úhel ∠ A = α = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Úhel ∠ B = β = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 28,28442712475
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,85661808316
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 18,85661808316

Těžnice: t_a = 28,28442712475
Těžnice: t_b = 20,61655281281
Těžnice: t_c = 20,61655281281

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,07110678119
Poloměr opsané kružnice: R = 15,91099025767

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[6,66766666667; 18,85661808316]
Těžiště: T[12,22222222222; 6,28553936105]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 5,30333008589]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 7,07110678119]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ B' = β' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
∠ C' = γ' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 30 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 30 + 30 = 80

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 0}{2} = 40

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 40 (40 - 20) (40 - 30) (40 - 30) S = 80000 = 282, 84

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 8 2 , 8 4}{2 0} = 28, 28 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 8 2 , 8 4}{3 0} = 18, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 2 , 8 4}{3 0} = 18, 86

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 3 0}) = 38 ° 5 6^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 70 ° 3 1^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 5 6^{'} 33 " - 70 ° 3 1^{'} 44 " = 70 ° 3 1^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 2 , 8 4}{4 0} = 7, 07

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 3 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 7 , 0 7 1 \cdot 4 0} = 15, 91

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 28, 284 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 20, 616 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 20, 616

Vypočítat další trojúhelník