Trojúhelník 21 21 24
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 21
b = 21
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 206,80442552754
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Úhel ∠ A = α = 55,1550095421° = 55°9' = 0,96325507479 rad
Úhel ∠ B = β = 55,1550095421° = 55°9' = 0,96325507479 rad
Úhel ∠ C = γ = 69.76998091581° = 69°41'59″ = 1,21664911578 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,69656433596
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 19,69656433596
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 17,23436879396
Těžnice: ta = 19,95662020435
Těžnice: tb = 19,95662020435
Těžnice: tc = 17,23436879396
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,26767956144
Poloměr opsané kružnice: R = 12,79547077127
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[12; 17,23436879396]
Těžiště: T[12; 5,74545626465]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; 4,43989802269]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 6,26767956144]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 124,85499045791° = 124°51' = 0,96325507479 rad
∠ B' = β' = 124,85499045791° = 124°51' = 0,96325507479 rad
∠ C' = γ' = 110.33001908419° = 110°18'1″ = 1,21664911578 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=21 b=21 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=21+21+24=66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−21)(33−21)(33−24) S=42768=206,8
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=212⋅ 206,8=19,7 vb=b2 S=212⋅ 206,8=19,7 vc=c2 S=242⋅ 206,8=17,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 24212+242−212)=55°9′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 21⋅ 24212+242−212)=55°9′ γ=180°−α−β=180°−55°9′−55°9′=69°41′59"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=33206,8=6,27
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,267⋅ 3321⋅ 21⋅ 24=12,79
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 242−212=19,956 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 212−212=19,956 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 212+2⋅ 212−242=17,234
Vypočítat další trojúhelník