Trojúhelník 21 22 30
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 21
b = 22
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 230,91554336548
Obvod trojúhelníku: o = 73
Semiperimeter (poloobvod): s = 36,5
Úhel ∠ A = α = 44,40664477069° = 44°24'23″ = 0,77550387216 rad
Úhel ∠ B = β = 47,14439519766° = 47°8'38″ = 0,82328171844 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,45496003164° = 88°26'59″ = 1,54437367476 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 21,99219460624
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 20,99223121504
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 15,39443622437
Těžnice: ta = 24,11994941904
Těžnice: tb = 23,44114163395
Těžnice: tc = 15,41110350074
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,32664502371
Poloměr opsané kružnice: R = 15,00554933322
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[14,28333333333; 15,39443622437]
Těžiště: T[14,76111111111; 5,13114540812]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 0,4065992785]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,5; 6,32664502371]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,59435522931° = 135°35'37″ = 0,77550387216 rad
∠ B' = β' = 132,85660480234° = 132°51'22″ = 0,82328171844 rad
∠ C' = γ' = 91,55503996836° = 91°33'1″ = 1,54437367476 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=21 b=22 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=21+22+30=73
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=273=36,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=36,5(36,5−21)(36,5−22)(36,5−30) S=53321,94=230,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=212⋅ 230,92=21,99 vb=b2 S=222⋅ 230,92=20,99 vc=c2 S=302⋅ 230,92=15,39
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 30222+302−212)=44°24′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 21⋅ 30212+302−222)=47°8′38" γ=180°−α−β=180°−44°24′23"−47°8′38"=88°26′59"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=36,5230,92=6,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,326⋅ 36,521⋅ 22⋅ 30=15,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 302−212=24,119 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 212−222=23,441 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 212+2⋅ 222−302=15,411
Vypočítat další trojúhelník