Trojúhelník 21 23 25

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 21
b = 23
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 225,57330203282
Obvod trojúhelníku: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Úhel ∠ A = α = 51,68438655263° = 51°41'2″ = 0,90220536236 rad
Úhel ∠ B = β = 59,24109669013° = 59°14'27″ = 1,03439499245 rad
Úhel ∠ C = γ = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,20655891055 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,48331447932
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,61550452459
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 18,04658416263

Těžnice: t_a = 21,60443977005
Těžnice: t_b = 20,01987412192
Těžnice: t_c = 18,13114643645

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,53883484153
Poloměr opsané kružnice: R = 13,38325844758

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[10,74; 18,04658416263]
Těžiště: T[11,91333333333; 6,01552805421]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 4,77994944556]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 6,53883484153]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,31661344737° = 128°18'58″ = 0,90220536236 rad
∠ B' = β' = 120,75990330987° = 120°45'33″ = 1,03439499245 rad
∠ C' = γ' = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,20655891055 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 21 b = 23 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 21 + 23 + 25 = 69

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9}{2} = 34, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 5 (34, 5 - 21) (34, 5 - 23) (34, 5 - 25) S = 50883, 19 = 225, 57

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 5 , 5 7}{2 1} = 21, 48 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 5 , 5 7}{2 3} = 19, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 5 , 5 7}{2 5} = 18, 05

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 5}) = 51 ° 4 1^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 59 ° 1 4^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 4 1^{'} 2 " - 59 ° 1 4^{'} 27 " = 69 ° 4^{'} 31 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 5 , 5 7}{3 4 , 5} = 6, 54

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 1 \cdot 2 3 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 5 3 8 \cdot 3 4 , 5} = 13, 38

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 21, 604 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 20, 019 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 18, 131

Vypočítat další trojúhelník