Trojúhelník 21 28 29

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 21
b = 28
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 277,88548682458
Obvod trojúhelníku: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Úhel ∠ A = α = 43,19220135372° = 43°11'31″ = 0,75438428468 rad
Úhel ∠ B = β = 65,86663189457° = 65°51'59″ = 1,15495841318 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,94216675171° = 70°56'30″ = 1,2388165675 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 26,46552255472
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,84989191604
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 19,16444736721

Těžnice: t_a = 26,5
Těžnice: t_b = 21,09550231097
Těžnice: t_c = 20,05661711201

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,12552530319
Poloměr opsané kružnice: R = 15,34108856945

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[8,58662068966; 19,16444736721]
Těžiště: T[12,52987356322; 6,38881578907]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 5,00992687982]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 7,12552530319]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,80879864628° = 136°48'29″ = 0,75438428468 rad
∠ B' = β' = 114,13436810544° = 114°8'1″ = 1,15495841318 rad
∠ C' = γ' = 109,05883324829° = 109°3'30″ = 1,2388165675 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 21 b = 28 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 21 + 28 + 29 = 78

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 21) (39 - 28) (39 - 29) S = 77220 = 277, 88

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7 7 , 8 8}{2 1} = 26, 47 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7 7 , 8 8}{2 8} = 19, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7 7 , 8 8}{2 9} = 19, 16

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 8 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 8 \cdot 2 9}) = 43 ° 1 1^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 9}) = 65 ° 5 1^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 1 1^{'} 31 " - 65 ° 5 1^{'} 59 " = 70 ° 5 6^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7 7 , 8 8}{3 9} = 7, 13

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 1 \cdot 2 8 \cdot 2 9}{4 \cdot 7 , 1 2 5 \cdot 3 9} = 15, 34

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 26, 5 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 21, 095 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 20, 056

Vypočítat další trojúhelník