Trojúhelník 22 23 30

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 22
b = 23
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 251,41878543779
Obvod trojúhelníku: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Úhel ∠ A = α = 46,78114870466° = 46°46'53″ = 0,81664909779 rad
Úhel ∠ B = β = 49,63295336611° = 49°37'46″ = 0,86661987686 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,58989792924° = 83°35'20″ = 1,4598902907 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,85661685798
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 21,86224221198
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,76111902919

Těžnice: t_a = 24,36218554302
Těžnice: t_b = 23,65990363286
Těžnice: t_c = 16,77879617356

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,70444761167
Poloměr opsané kružnice: R = 15,0944393393

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[14,25; 16,76111902919]
Těžiště: T[14,75; 5,58770634306]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 1,68554411595]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,5; 6,70444761167]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 133,21985129534° = 133°13'7″ = 0,81664909779 rad
∠ B' = β' = 130,37704663389° = 130°22'14″ = 0,86661987686 rad
∠ C' = γ' = 96,41110207076° = 96°24'40″ = 1,4598902907 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 22 b = 23 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 22 + 23 + 30 = 75

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 5}{2} = 37, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37, 5 (37, 5 - 22) (37, 5 - 23) (37, 5 - 30) S = 63210, 94 = 251, 42

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 1 , 4 2}{2 2} = 22, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 1 , 4 2}{2 3} = 21, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 1 , 4 2}{3 0} = 16, 76

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 3 0}) = 46 ° 4 6^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 3 0}) = 49 ° 3 7^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 4 6^{'} 53 " - 49 ° 3 7^{'} 46 " = 83 ° 3 5^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 1 , 4 2}{3 7 , 5} = 6, 7

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 3 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 7 0 4 \cdot 3 7 , 5} = 15, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 24, 362 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 23, 659 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 16, 778

Vypočítat další trojúhelník