Trojúhelník 22 24 25

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 22
b = 24
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 240,56106732199
Obvod trojúhelníku: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Úhel ∠ A = α = 53,3098942622° = 53°18'32″ = 0,93304165695 rad
Úhel ∠ B = β = 61,01773038786° = 61°1'2″ = 1,06549528534 rad
Úhel ∠ C = γ = 65,67437534995° = 65°40'25″ = 1,14662232307 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,86991521109
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 20,04767227683
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 19,24548538576

Těžnice: t_a = 21,89774884405
Těžnice: t_b = 20,26107995894
Těžnice: t_c = 19,33326149292

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,77663569921
Poloměr opsané kružnice: R = 13,71879529631

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[10,66; 19,24548538576]
Těžiště: T[11,88766666667; 6,41549512859]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 5,65108613058]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 6,77663569921]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,69110573781° = 126°41'28″ = 0,93304165695 rad
∠ B' = β' = 118,98326961215° = 118°58'58″ = 1,06549528534 rad
∠ C' = γ' = 114,32662465005° = 114°19'34″ = 1,14662232307 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 22 b = 24 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 22 + 24 + 25 = 71

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 22) (35, 5 - 24) (35, 5 - 25) S = 57869, 44 = 240, 56

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 0 , 5 6}{2 2} = 21, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 0 , 5 6}{2 4} = 20, 05 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 0 , 5 6}{2 5} = 19, 24

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}) = 53 ° 1 8^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 5}) = 61 ° 1^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 1 8^{'} 32 " - 61 ° 1^{'} 2 " = 65 ° 4 0^{'} 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 0 , 5 6}{3 5 , 5} = 6, 78

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 7 7 6 \cdot 3 5 , 5} = 13, 72

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 21, 897 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 20, 261 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 19, 333

Vypočítat další trojúhelník