Trojúhelník 22 24 28

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 22
b = 24
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 254,8233468307
Obvod trojúhelníku: o = 74
Semiperimeter (poloobvod): s = 37

Úhel ∠ A = α = 49,32436272308° = 49°19'25″ = 0,86108596942 rad
Úhel ∠ B = β = 55,82773636603° = 55°49'38″ = 0,97443713086 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,84990091089° = 74°50'56″ = 1,30663616508 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 23,16657698461
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 21,23552890256
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 18,20216763076

Těžnice: t_a = 23,64331808351
Těžnice: t_b = 22,13659436212
Těžnice: t_c = 18,27656668825

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,88771207651
Poloměr opsané kružnice: R = 14,50441586026

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[12,35771428571; 18,20216763076]
Těžiště: T[13,45223809524; 6,06772254359]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 3,79108596348]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13; 6,88771207651]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,67663727692° = 130°40'35″ = 0,86108596942 rad
∠ B' = β' = 124,17326363397° = 124°10'22″ = 0,97443713086 rad
∠ C' = γ' = 105,15109908911° = 105°9'4″ = 1,30663616508 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 22 b = 24 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 22 + 24 + 28 = 74

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 4}{2} = 37

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37 (37 - 22) (37 - 24) (37 - 28) S = 64935 = 254, 82

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 4 , 8 2}{2 2} = 23, 17 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 4 , 8 2}{2 4} = 21, 24 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 4 , 8 2}{2 8} = 18, 2

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 8}) = 49 ° 1 9^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 8}) = 55 ° 4 9^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 1 9^{'} 25 " - 55 ° 4 9^{'} 38 " = 74 ° 5 0^{'} 56 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 4 , 8 2}{3 7} = 6, 89

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 4 \cdot 2 8}{4 \cdot 6 , 8 8 7 \cdot 3 7} = 14, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 23, 643 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 22, 136 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 18, 276

Vypočítat další trojúhelník