Trojúhelník 22 26 30

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 22
b = 26
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 278,51657087132
Obvod trojúhelníku: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Úhel ∠ A = α = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Úhel ∠ B = β = 57,56435627878° = 57°33'49″ = 1,00546736998 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 25,3219609883
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 21,42442852856
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 18,56877139142

Těžnice: t_a = 25,82663431403
Těžnice: t_b = 22,86991932521
Těžnice: t_c = 18,84114436814

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,14114284285
Poloměr opsané kružnice: R = 15,40330809243

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11,8; 18,56877139142]
Těžiště: T[13,93333333333; 6,18992379714]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 3,50107002101]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13; 7,14114284285]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ B' = β' = 122,43664372123° = 122°26'11″ = 1,00546736998 rad
∠ C' = γ' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 22 b = 26 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 22 + 26 + 30 = 78

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 22) (39 - 26) (39 - 30) S = 77571 = 278, 52

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7 8 , 5 2}{2 2} = 25, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7 8 , 5 2}{2 6} = 21, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7 8 , 5 2}{3 0} = 18, 57

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 3 0}) = 45 ° 3 4^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 3 0}) = 57 ° 3 3^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 3 4^{'} 23 " - 57 ° 3 3^{'} 49 " = 76 ° 5 1^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7 8 , 5 2}{3 9} = 7, 14

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 6 \cdot 3 0}{4 \cdot 7 , 1 4 1 \cdot 3 9} = 15, 4

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 25, 826 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 22, 869 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 841

Vypočítat další trojúhelník