Trojúhelník 23 26 26

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 23
b = 26
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 268,16221477763
Obvod trojúhelníku: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Úhel ∠ A = α = 52,50224278699° = 52°30'9″ = 0,91663402316 rad
Úhel ∠ B = β = 63,7498786065° = 63°44'56″ = 1,1132626211 rad
Úhel ∠ C = γ = 63,7498786065° = 63°44'56″ = 1,1132626211 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 23,31884476327
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 20,62878575213
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 20,62878575213

Těžnice: t_a = 23,31884476327
Těžnice: t_b = 20,82106628137
Těžnice: t_c = 20,82106628137

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,15109906074
Poloměr opsané kružnice: R = 14,4954961471

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[10,17330769231; 20,62878575213]
Těžiště: T[12,05876923077; 6,87659525071]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; 6,41112329583]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 7,15109906074]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 127,49875721301° = 127°29'51″ = 0,91663402316 rad
∠ B' = β' = 116,2511213935° = 116°15'4″ = 1,1132626211 rad
∠ C' = γ' = 116,2511213935° = 116°15'4″ = 1,1132626211 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 23 b = 26 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 23 + 26 + 26 = 75

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 5}{2} = 37, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37, 5 (37, 5 - 23) (37, 5 - 26) (37, 5 - 26) S = 71910, 94 = 268, 16

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 8 , 1 6}{2 3} = 23, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 8 , 1 6}{2 6} = 20, 63 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 8 , 1 6}{2 6} = 20, 63

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 2 6}) = 52 ° 3 0^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 6}) = 63 ° 4 4^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 52 ° 3 0^{'} 9 " - 63 ° 4 4^{'} 56 " = 63 ° 4 4^{'} 56 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 8 , 1 6}{3 7 , 5} = 7, 15

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 3 \cdot 2 6 \cdot 2 6}{4 \cdot 7 , 1 5 1 \cdot 3 7 , 5} = 14, 49

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 23, 318 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 20, 821 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 20, 821

Vypočítat další trojúhelník