Trojúhelník 23 27 30

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 23
b = 27
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 297,32113749464
Obvod trojúhelníku: o = 80
Semiperimeter (poloobvod): s = 40

Úhel ∠ A = α = 47,23334876223° = 47°14'1″ = 0,82443798762 rad
Úhel ∠ B = β = 59,51994142744° = 59°31'10″ = 1,03988097479 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,24770981033° = 73°14'50″ = 1,27884030294 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 25,8544032604
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 22,02438055516
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 19,82114249964

Těžnice: t_a = 26,12199157732
Těžnice: t_b = 23,07105439901
Těžnice: t_c = 20.10997512422

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,43330343737
Poloměr opsané kružnice: R = 15,66548676902

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11,66766666667; 19,82114249964]
Těžiště: T[13,88988888889; 6,60771416655]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 4,51553161297]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13; 7,43330343737]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,76765123777° = 132°45'59″ = 0,82443798762 rad
∠ B' = β' = 120,48105857256° = 120°28'50″ = 1,03988097479 rad
∠ C' = γ' = 106,75329018967° = 106°45'10″ = 1,27884030294 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 23 b = 27 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 23 + 27 + 30 = 80

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 0}{2} = 40

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 40 (40 - 23) (40 - 27) (40 - 30) S = 88400 = 297, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 7 , 3 2}{2 3} = 25, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 7 , 3 2}{2 7} = 22, 02 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 7 , 3 2}{3 0} = 19, 82

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 3 0}) = 47 ° 1 4^{'} 1 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 3 0}) = 59 ° 3 1^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 1 4^{'} 1 " - 59 ° 3 1^{'} 10 " = 73 ° 1 4^{'} 50 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 7 , 3 2}{4 0} = 7, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 3 \cdot 2 7 \cdot 3 0}{4 \cdot 7 , 4 3 3 \cdot 4 0} = 15, 66

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 26, 12 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 23, 071 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 20, 1

Vypočítat další trojúhelník