Trojúhelník 24 26 28

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 24
b = 26
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 289,23217409967
Obvod trojúhelníku: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Úhel ∠ A = α = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Úhel ∠ B = β = 59,40875112549° = 59°24'27″ = 1,03768566718 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24,10326450831
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 22,24985954613
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 20,65994100712

Těžnice: t_a = 24,20774368738
Těžnice: t_b = 22,60553091109
Těžnice: t_c = 20,73664413533

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,41661984871
Poloměr opsané kružnice: R = 15,10220769192

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[12,21442857143; 20,65994100712]
Těžiště: T[13,40547619048; 6,88664700237]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 5,66332788447]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13; 7,41661984871]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ B' = β' = 120,59224887451° = 120°35'33″ = 1,03768566718 rad
∠ C' = γ' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 24 b = 26 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 24 + 26 + 28 = 78

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 24) (39 - 26) (39 - 28) S = 83655 = 289, 23

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 8 9 , 2 3}{2 4} = 24, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 8 9 , 2 3}{2 6} = 22, 25 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 9 , 2 3}{2 8} = 20, 66

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 2 8}) = 52 ° 3 7^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 8}) = 59 ° 2 4^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 52 ° 3 7^{'} - 59 ° 2 4^{'} 27 " = 67 ° 5 8^{'} 32 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 9 , 2 3}{3 9} = 7, 42

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 4 \cdot 2 6 \cdot 2 8}{4 \cdot 7 , 4 1 6 \cdot 3 9} = 15, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 24, 207 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 22, 605 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 20, 736

Vypočítat další trojúhelník