Trojúhelník 25 30 30
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 25
b = 30
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 340,89772535824
Obvod trojúhelníku: o = 85
Semiperimeter (poloobvod): s = 42,5
Úhel ∠ A = α = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 0,86595508626 rad
Úhel ∠ B = β = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Úhel ∠ C = γ = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 27,27217802866
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 22,72664835722
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 22,72664835722
Těžnice: ta = 27,27217802866
Těžnice: tb = 23,18440462387
Těžnice: tc = 23,18440462387
Poloměr vepsané kružnice: r = 8,0211111849
Poloměr opsané kružnice: R = 16,50105729465
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[10,41766666667; 22,72664835722]
Těžiště: T[13,47222222222; 7,57554945241]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 6,87552387277]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 8,0211111849]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 0,86595508626 rad
∠ B' = β' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
∠ C' = γ' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=25 b=30 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=25+30+30=85
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=285=42,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=42,5(42,5−25)(42,5−30)(42,5−30) S=116210,94=340,9
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=252⋅ 340,9=27,27 vb=b2 S=302⋅ 340,9=22,73 vc=c2 S=302⋅ 340,9=22,73
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 30302+302−252)=49°14′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−302)=65°22′32" γ=180°−α−β=180°−49°14′55"−65°22′32"=65°22′32"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=42,5340,9=8,02
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 8,021⋅ 42,525⋅ 30⋅ 30=16,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 302−252=27,272 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 252−302=23,184 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 252+2⋅ 302−302=23,184
Vypočítat další trojúhelník