Trojúhelník 27 28 29

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 27
b = 28
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 338,61548254285
Obvod trojúhelníku: o = 84
Semiperimeter (poloobvod): s = 42

Úhel ∠ A = α = 56,5154623377° = 56°30'53″ = 0,98663662535 rad
Úhel ∠ B = β = 59,87331765842° = 59°52'23″ = 1,0454984065 rad
Úhel ∠ C = γ = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 25,08325796614
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 24,18767732449
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 23,35327465813

Těžnice: t_a = 25,10547804213
Těžnice: t_b = 24,2699322199
Těžnice: t_c = 23,3721991785

Poloměr vepsané kružnice: r = 8,06222577483
Poloměr opsané kružnice: R = 16,18765328639

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[13,55217241379; 23,35327465813]
Těžiště: T[14,1843908046; 7,78442488604]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 7,19440146062]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14; 8,06222577483]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 123,4855376623° = 123°29'7″ = 0,98663662535 rad
∠ B' = β' = 120,12768234158° = 120°7'37″ = 1,0454984065 rad
∠ C' = γ' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 27 b = 28 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 27 + 28 + 29 = 84

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 4}{2} = 42

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 42 (42 - 27) (42 - 28) (42 - 29) S = 114660 = 338, 61

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 8 , 6 1}{2 7} = 25, 08 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 8 , 6 1}{2 8} = 24, 19 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 8 , 6 1}{2 9} = 23, 35

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 8 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 2 8 \cdot 2 9}) = 56 ° 3 0^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 2 9}) = 59 ° 5 2^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 56 ° 3 0^{'} 53 " - 59 ° 5 2^{'} 23 " = 63 ° 3 6^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 8 , 6 1}{4 2} = 8, 06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 7 \cdot 2 8 \cdot 2 9}{4 \cdot 8 , 0 6 2 \cdot 4 2} = 16, 19

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 25, 105 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 24, 269 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 23, 372

Vypočítat další trojúhelník