Trojúhelník 3 10 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 10
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 14,69769384567
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Úhel ∠ A = α = 15,49987327566° = 15°29'55″ = 0,27105039165 rad
Úhel ∠ B = β = 62,96443082106° = 62°57'52″ = 1,09989344895 rad
Úhel ∠ C = γ = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,77221542476 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,79879589711
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,93993876913
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,67221706285

Těžnice: t_a = 10,40443260233
Těžnice: t_b = 6,32545553203
Těžnice: t_c = 4,92444289009

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,22547448714
Poloměr opsané kružnice: R = 5,61334139939

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[1,36436363636; 2,67221706285]
Těžiště: T[4,12112121212; 0,89107235428]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -1,12326827988]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,22547448714]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,50112672434° = 164°30'5″ = 0,27105039165 rad
∠ B' = β' = 117,03656917894° = 117°2'8″ = 1,09989344895 rad
∠ C' = γ' = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,77221542476 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a+b+c = 3+10+11 = 24

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4}{2} = 12

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 12(12-3)(12-10)(12-11) } \ \\ S = \sqrt{ 12 \cdot \ 9 \cdot \ 2 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 216 } = 14{,}697

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14{,}697 }{ 3 } = 9{,}798 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14{,}697 }{ 10 } = 2{,}939 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14{,}697 }{ 11 } = 2{,}672

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 15 ° 2 9^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 1}) = 62 ° 5 7^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 2 9^{'} 55 " - 62 ° 5 7^{'} 52 " = 101 ° 3 2^{'} 13 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 14{,}697 }{ 12 } = 1{,}225

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 10 \cdot \ 11 }{ 4 \cdot \ 1{,}225 \cdot \ 12 } = 5{,}613

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 11^2 - 3^2 } }{ 2 } = 10{,}404 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 3^2 - 10^2 } }{ 2 } = 6{,}325 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 10^2 - 11^2 } }{ 2 } = 4{,}924

Vypočítat další trojúhelník