Trojúhelník 3 13 13
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 13 c = 13Obsah trojúhelníku: S = 19,37697573552
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Úhel ∠ A = α = 13,25216191296° = 13°15'6″ = 0,2311284385 rad
Úhel ∠ B = β = 83,37441904352° = 83°22'27″ = 1,45551541343 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,37441904352° = 83°22'27″ = 1,45551541343 rad
Výška trojúhelníku: va = 12,91331715701
Výška trojúhelníku: vb = 2,987996267
Výška trojúhelníku: vc = 2,987996267
Těžnice: ta = 12,91331715701
Těžnice: tb = 6,83773971656
Těžnice: tc = 6,83773971656
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,33658453348
Poloměr opsané kružnice: R = 6,5443706133
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[0,34661538462; 2,987996267]
Těžiště: T[4,44987179487; 0,993332089]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 0,75550430153]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,33658453348]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,74883808704° = 166°44'54″ = 0,2311284385 rad
∠ B' = β' = 96,62658095648° = 96°37'33″ = 1,45551541343 rad
∠ C' = γ' = 96,62658095648° = 96°37'33″ = 1,45551541343 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=13 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+13+13=29
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−3)(14,5−13)(14,5−13) S=375,19=19,37
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 19,37=12,91 vb=b2 S=132⋅ 19,37=2,98 vc=c2 S=132⋅ 19,37=2,98
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 13132+132−32)=13°15′6" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1332+132−132)=83°22′27" γ=180°−α−β=180°−13°15′6"−83°22′27"=83°22′27"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=14,519,37=1,34
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,336⋅ 14,53⋅ 13⋅ 13=6,54
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 132−32=12,913 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 32−132=6,837 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 132−132=6,837
Vypočítat další trojúhelník