Trojúhelník 3 13 13




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 13
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 19,37697573552
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 13,25216191296° = 13°15'6″ = 0,2311284385 rad
Úhel ∠ B = β = 83,37441904352° = 83°22'27″ = 1,45551541343 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,37441904352° = 83°22'27″ = 1,45551541343 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,91331715701
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,987996267
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,987996267

Těžnice: ta = 12,91331715701
Těžnice: tb = 6,83773971656
Těžnice: tc = 6,83773971656

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,33658453348
Poloměr opsané kružnice: R = 6,5443706133

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[0,34661538462; 2,987996267]
Těžiště: T[4,44987179487; 0,993332089]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 0,75550430153]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,33658453348]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,74883808704° = 166°44'54″ = 0,2311284385 rad
∠ B' = β' = 96,62658095648° = 96°37'33″ = 1,45551541343 rad
∠ C' = γ' = 96,62658095648° = 96°37'33″ = 1,45551541343 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=13 c=13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+13+13=29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=292=14,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 29 }{ 2 } = 14{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14,5(14,53)(14,513)(14,513) S=14,5 11,5 1,5 1,5 S=375,19=19,37S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14{,}5(14{,}5-3)(14{,}5-13)(14{,}5-13) } \ \\ S = \sqrt{ 14{,}5 \cdot \ 11{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 1{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 375{,}19 } = 19{,}37

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2 19,373=12,913 vb=2 Sb=2 19,3713=2,98 vc=2 Sc=2 19,3713=2,98S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 19{,}37 }{ 3 } = 12{,}913 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 19{,}37 }{ 13 } = 2{,}98 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 19{,}37 }{ 13 } = 2{,}98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 13132+13232)=13°156"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 1332+132132)=83°2227" γ=180°αβ=180°13°156"83°2227"=83°2227"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=19,3714,5=1,336S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 19{,}37 }{ 14{,}5 } = 1{,}336

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=3 13 134 1,336 14,5=6,544R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 13 \cdot \ 13 }{ 4 \cdot \ 1{,}336 \cdot \ 14{,}5 } = 6{,}544

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2a22=2 132+2 132322=12,913 tb=2c2+2a2b22=2 132+2 321322=6,837 tc=2a2+2b2c22=2 32+2 1321322=6,837t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 13^2+2 \cdot \ 13^2 - 3^2 } }{ 2 } = 12{,}913 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 13^2+2 \cdot \ 3^2 - 13^2 } }{ 2 } = 6{,}837 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 13^2 - 13^2 } }{ 2 } = 6{,}837

Vypočítat další trojúhelník