Trojúhelník 3 18 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 18
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 21,17663429326
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Úhel ∠ A = α = 6,75662861124° = 6°45'23″ = 0,11879194379 rad
Úhel ∠ B = β = 44,90105279607° = 44°54'2″ = 0,78436620488 rad
Úhel ∠ C = γ = 128,34331859269° = 128°20'35″ = 2,24400111669 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,11875619551
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,35329269925
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,11876342933

Těžnice: t_a = 18,96770767384
Těžnice: t_b = 11,11330553854
Těžnice: t_c = 8,15547532152

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,03329923382
Poloměr opsané kružnice: R = 12,75500768598

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[2,125; 2,11876342933]
Těžiště: T[7,375; 0,70658780978]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -7,91097699038]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,03329923382]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 173,24437138876° = 173°14'37″ = 0,11879194379 rad
∠ B' = β' = 135,09994720393° = 135°5'58″ = 0,78436620488 rad
∠ C' = γ' = 51,65768140731° = 51°39'25″ = 2,24400111669 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 18 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 18 + 20 = 41

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 3) (20, 5 - 18) (20, 5 - 20) S = 448, 44 = 21, 18

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 , 1 8}{3} = 14, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 , 1 8}{1 8} = 2, 35 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 , 1 8}{2 0} = 2, 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}) = 6 ° 4 5^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2 0}) = 44 ° 5 4^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 6 ° 4 5^{'} 23 " - 44 ° 5 4^{'} 2 " = 128 ° 2 0^{'} 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 , 1 8}{2 0 , 5} = 1, 03

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 8 \cdot 2 0}{4 \cdot 1 , 0 3 3 \cdot 2 0 , 5} = 12, 75

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 18, 967 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 11, 113 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 8, 155

Vypočítat další trojúhelník