Trojúhelník 3 20 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 20
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 23,4198742494
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Úhel ∠ A = α = 6,11106462489° = 6°6'38″ = 0,10766508965 rad
Úhel ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Úhel ∠ C = γ = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 2,24659278597 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,6122494996
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,34218742494
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,12989765904

Těžnice: t_a = 20,97702169755
Těžnice: t_b = 12,10437184369
Těžnice: t_c = 9,13878334412

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,04108329997
Poloměr opsané kružnice: R = 14,09112775348

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[2,11436363636; 2,12989765904]
Těžiště: T[8,03878787879; 0,71096588635]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -8,80770484593]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,04108329997]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 173,88993537511° = 173°53'22″ = 0,10766508965 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 2,24659278597 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 20 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 20 + 22 = 45

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 3) (22, 5 - 20) (22, 5 - 22) S = 548, 44 = 23, 42

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{3} = 15, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{2 0} = 2, 34 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{2 2} = 2, 13

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 6 ° 6^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2 2}) = 45 ° 1 2^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 6 ° 6^{'} 38 " - 45 ° 1 2^{'} 26 " = 128 ° 4 0^{'} 56 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 4 2}{2 2 , 5} = 1, 04

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 0 4 1 \cdot 2 2 , 5} = 14, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 20, 97 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 104 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 9, 138

Vypočítat další trojúhelník