Trojúhelník 3 5 5




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 5
c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 7,15545440106
Obvod trojúhelníku: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Úhel ∠ A = α = 34,91552062474° = 34°54'55″ = 0,6099385308 rad
Úhel ∠ B = β = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 4,77696960071
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,86218176043
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,86218176043

Těžnice: ta = 4,77696960071
Těžnice: tb = 3,27987192622
Těžnice: tc = 3,27987192622

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,10106990786
Poloměr opsané kružnice: R = 2,62107120918

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[0,9; 2,86218176043]
Těžiště: T[1,96766666667; 0,95439392014]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 0,78662136275]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,10106990786]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,08547937526° = 145°5'5″ = 0,6099385308 rad
∠ B' = β' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=5 c=5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+5+5=13

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=132=6,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 13 }{ 2 } = 6{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=6,5(6,5−3)(6,5−5)(6,5−5) S=6,5⋅ 3,5⋅ 1,5⋅ 1,5 S=51,188=7,155S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 6{,}5(6{,}5-3)(6{,}5-5)(6{,}5-5) } \ \\ S = \sqrt{ 6{,}5 \cdot \ 3{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 1{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 51{,}188 } = 7{,}155

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 7,1553=4,77 vb=2 Sb=2⋅ 7,1555=2,862 vc=2 Sc=2⋅ 7,1555=2,862S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 7{,}155 }{ 3 } = 4{,}77 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 7{,}155 }{ 5 } = 2{,}862 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 7{,}155 }{ 5 } = 2{,}862

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 552+52−32​)=34°54′55"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 3⋅ 532+52−52​)=72°32′33" γ=180°−α−β=180°−34°54′55"−72°32′33"=72°32′33"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=7,1556,5=1,101S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 7{,}155 }{ 6{,}5 } = 1{,}101

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=3⋅ 5⋅ 54⋅ 1,101⋅ 6,5=2,621R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 5 \cdot \ 5 }{ 4 \cdot \ 1{,}101 \cdot \ 6{,}5 } = 2{,}621

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 52+2⋅ 52−322=4,77 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 52+2⋅ 32−522=3,279 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 32+2⋅ 52−522=3,279t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 5^2 - 3^2 } }{ 2 } = 4{,}77 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 3^2 - 5^2 } }{ 2 } = 3{,}279 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 5^2 - 5^2 } }{ 2 } = 3{,}279

Vypočítat další trojúhelník