Trojúhelník 3 5 5




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 3   b = 5   c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 7,15545440106
Obvod trojúhelníku: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Úhel ∠ A = α = 34,91552062474° = 34°54'55″ = 0,6099385308 rad
Úhel ∠ B = β = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojúhelníku: va = 4,77696960071
Výška trojúhelníku: vb = 2,86218176043
Výška trojúhelníku: vc = 2,86218176043

Těžnice: ta = 4,77696960071
Těžnice: tb = 3,27987192622
Těžnice: tc = 3,27987192622

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,10106990786
Poloměr opsané kružnice: R = 2,62107120918

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[0,9; 2,86218176043]
Těžiště: T[1,96766666667; 0,95439392014]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 0,78662136275]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,10106990786]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,08547937526° = 145°5'5″ = 0,6099385308 rad
∠ B' = β' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=5 c=5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+5+5=13

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=213=6,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=6,5(6,53)(6,55)(6,55) S=51,19=7,15

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=32 7,15=4,77 vb=b2 S=52 7,15=2,86 vc=c2 S=52 7,15=2,86

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 5 552+5232)=34°5455"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 532+5252)=72°3233" γ=180°αβ=180°34°5455"72°3233"=72°3233"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=6,57,15=1,1

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,101 6,53 5 5=2,62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 52+2 5232=4,77 tb=22c2+2a2b2=22 52+2 3252=3,279 tc=22a2+2b2c2=22 32+2 5252=3,279

Vypočítat další trojúhelník