Trojúhelník 3 6 7




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 6
c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 8,944427191
Obvod trojúhelníku: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8

Úhel ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Úhel ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,963284794
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,981142397
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,556550626

Těžnice: ta = 6,34442887702
Těžnice: tb = 4,4722135955
Těžnice: tc = 3,20215621187

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,11880339887
Poloměr opsané kružnice: R = 3,52218070646

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[1,57114285714; 2,556550626]
Těžiště: T[2,85771428571; 0,852183542]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; -0,39113118961]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,11880339887]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=6 c=7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+6+7=16

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=216=8

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=8(83)(86)(87) S=8 5 2 1 S=80=8,944S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 8(8-3)(8-6)(8-7) } \ \\ S = \sqrt{ 8 \cdot \ 5 \cdot \ 2 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 80 } = 8{,}944

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2 8,9443=5,963 vb=2 Sb=2 8,9446=2,981 vc=2 Sc=2 8,9447=2,556S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 8{,}944 }{ 3 } = 5{,}963 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 8{,}944 }{ 6 } = 2{,}981 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 8{,}944 }{ 7 } = 2{,}556

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 6 762+7232)=25°1232"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 732+7262)=58°2443" γ=180°αβ=180°25°1232"58°2443"=96°2246"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=8,9448=1,118S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 8{,}944 }{ 8 } = 1{,}118

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=3 6 74 1,118 8=3,522R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 6 \cdot \ 7 }{ 4 \cdot \ 1{,}118 \cdot \ 8 } = 3{,}522

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2a22=2 62+2 72322=6,344 tb=2c2+2a2b22=2 72+2 32622=4,472 tc=2a2+2b2c22=2 32+2 62722=3,202t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 7^2 - 3^2 } }{ 2 } = 6{,}344 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 3^2 - 6^2 } }{ 2 } = 4{,}472 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 6^2 - 7^2 } }{ 2 } = 3{,}202

Vypočítat další trojúhelník