Trojúhelník 4 11 11




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 11
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 21,63333076528
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 20,95113633928° = 20°57'5″ = 0,3665670274 rad
Úhel ∠ B = β = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,81766538264
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,93333286641
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,93333286641

Těžnice: ta = 10,81766538264
Těžnice: tb = 6,18546584384
Těžnice: tc = 6,18546584384

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,66441005887
Poloměr opsané kružnice: R = 5,59332269786

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[0,72772727273; 3,93333286641]
Těžiště: T[3,90990909091; 1,31111095547]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,01769503597]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,66441005887]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,04986366072° = 159°2'55″ = 0,3665670274 rad
∠ B' = β' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad
∠ C' = γ' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=11 c=11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+11+11=26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o​=226​=13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−4)(13−11)(13−11) S=13⋅ 9⋅ 2⋅ 2 S=468=21,633S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 13(13-4)(13-11)(13-11) } \ \\ S = \sqrt{ 13 \cdot \ 9 \cdot \ 2 \cdot \ 2 } \ \\ S = \sqrt{ 468 } = 21{,}633

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 21,6334=10,817 vb=2 Sb=2⋅ 21,63311=3,933 vc=2 Sc=2⋅ 21,63311=3,933S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 21{,}633 }{ 4 } = 10{,}817 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 21{,}633 }{ 11 } = 3{,}933 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 21{,}633 }{ 11 } = 3{,}933

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−42​)=20°57′5"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−112​)=79°31′28" γ=180°−α−β=180°−20°57′5"−79°31′28"=79°31′28"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=21,63313=1,664S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 21{,}633 }{ 13 } = 1{,}664

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=4⋅ 11⋅ 114⋅ 1,664⋅ 13=5,593R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 11 \cdot \ 11 }{ 4 \cdot \ 1{,}664 \cdot \ 13 } = 5{,}593

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 112+2⋅ 112−422=10,817 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 112+2⋅ 42−1122=6,185 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 42+2⋅ 112−1122=6,185t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 11^2 - 4^2 } }{ 2 } = 10{,}817 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 4^2 - 11^2 } }{ 2 } = 6{,}185 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 11^2 - 11^2 } }{ 2 } = 6{,}185

Vypočítat další trojúhelník