Trojúhelník 4 11 12




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 11
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 21,93302872758
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 19,40770433824° = 19°24'25″ = 0,33987168051 rad
Úhel ∠ B = β = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,15224499404 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,56224389353° = 94°33'45″ = 1,65504259081 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,96551436379
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,98773249592
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,65550478793

Těžnice: ta = 11,33657840488
Těžnice: tb = 7,05333679898
Těžnice: tc = 5,70108771255

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,62444657241
Poloměr opsané kružnice: R = 6,01990729989

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[1,625; 3,65550478793]
Těžiště: T[4,54216666667; 1,21883492931]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -0,47987898976]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,62444657241]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,59329566176° = 160°35'35″ = 0,33987168051 rad
∠ B' = β' = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,15224499404 rad
∠ C' = γ' = 85,43875610647° = 85°26'15″ = 1,65504259081 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=11 c=12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+11+12=27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=272=13,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 27 }{ 2 } = 13{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−4)(13,5−11)(13,5−12) S=13,5⋅ 9,5⋅ 2,5⋅ 1,5 S=480,94=21,93S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 13{,}5(13{,}5-4)(13{,}5-11)(13{,}5-12) } \ \\ S = \sqrt{ 13{,}5 \cdot \ 9{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 1{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 480{,}94 } = 21{,}93

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 21,934=10,965 vb=2 Sb=2⋅ 21,9311=3,987 vc=2 Sc=2⋅ 21,9312=3,655S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 21{,}93 }{ 4 } = 10{,}965 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 21{,}93 }{ 11 } = 3{,}987 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 21{,}93 }{ 12 } = 3{,}655

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 11⋅ 12112+122−42​)=19°24′25"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 4⋅ 1242+122−112​)=66°1′50" γ=180°−α−β=180°−19°24′25"−66°1′50"=94°33′45"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=21,9313,5=1,625S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 21{,}93 }{ 13{,}5 } = 1{,}625

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=4⋅ 11⋅ 124⋅ 1,624⋅ 13,5=6,019R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 11 \cdot \ 12 }{ 4 \cdot \ 1{,}624 \cdot \ 13{,}5 } = 6{,}019

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 112+2⋅ 122−422=11,336 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 122+2⋅ 42−1122=7,053 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 42+2⋅ 112−1222=5,701t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 12^2 - 4^2 } }{ 2 } = 11{,}336 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 12^2+2 \cdot \ 4^2 - 11^2 } }{ 2 } = 7{,}053 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 11^2 - 12^2 } }{ 2 } = 5{,}701

Vypočítat další trojúhelník