Trojúhelník 4 11 12
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 11 c = 12Obsah trojúhelníku: S = 21,93302872758
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 19,40770433824° = 19°24'25″ = 0,33987168051 rad
Úhel ∠ B = β = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,15224499404 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,56224389353° = 94°33'45″ = 1,65504259081 rad
Výška trojúhelníku: va = 10,96551436379
Výška trojúhelníku: vb = 3,98773249592
Výška trojúhelníku: vc = 3,65550478793
Těžnice: ta = 11,33657840488
Těžnice: tb = 7,05333679898
Těžnice: tc = 5,70108771255
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,62444657241
Poloměr opsané kružnice: R = 6,01990729989
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[1,625; 3,65550478793]
Těžiště: T[4,54216666667; 1,21883492931]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -0,47987898976]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,62444657241]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,59329566176° = 160°35'35″ = 0,33987168051 rad
∠ B' = β' = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,15224499404 rad
∠ C' = γ' = 85,43875610647° = 85°26'15″ = 1,65504259081 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=11 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+11+12=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−4)(13,5−11)(13,5−12) S=480,94=21,93
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 21,93=10,97 vb=b2 S=112⋅ 21,93=3,99 vc=c2 S=122⋅ 21,93=3,66
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 12112+122−42)=19°24′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1242+122−112)=66°1′50" γ=180°−α−β=180°−19°24′25"−66°1′50"=94°33′45"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,521,93=1,62
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,624⋅ 13,54⋅ 11⋅ 12=6,02
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 122−42=11,336 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 42−112=7,053 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 112−122=5,701
Vypočítat další trojúhelník