Trojúhelník 4 13 13

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 13
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 25,69904651573
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 17.76997661969° = 17°41'59″ = 0,3098919197 rad
Úhel ∠ B = β = 81,15501169016° = 81°9' = 1,41663367283 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,15501169016° = 81°9' = 1,41663367283 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,84552325787
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,9522379255
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,9522379255

Těžnice: t_a = 12,84552325787
Těžnice: t_b = 7,08987234394
Těžnice: t_c = 7,08987234394

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,71326976772
Poloměr opsané kružnice: R = 6,57883160782

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[0,61553846154; 3,9522379255]
Těžiště: T[4,53884615385; 1,31774597517]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 1,01220486274]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,71326976772]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162.33002338031° = 162°18'1″ = 0,3098919197 rad
∠ B' = β' = 98,85498830984° = 98°51' = 1,41663367283 rad
∠ C' = γ' = 98,85498830984° = 98°51' = 1,41663367283 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 13 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 13 + 13 = 30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 4) (15 - 13) (15 - 13) S = 660 = 25, 69

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 , 6 9}{4} = 12, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 , 6 9}{1 3} = 3, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 , 6 9}{1 3} = 3, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 3}) = 17 ° 4 1^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 3}) = 81 ° 9^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 4 1^{'} 59 " - 81 ° 9^{'} = 81 ° 9^{'}

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 , 6 9}{1 5} = 1, 71

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 3 \cdot 1 3}{4 \cdot 1 , 7 1 3 \cdot 1 5} = 6, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 12, 845 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 089 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 089

Vypočítat další trojúhelník