Trojúhelník 4 13 14

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 13
c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 25,85441582729
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Úhel ∠ A = α = 16,50657537272° = 16°30'21″ = 0,28880797481 rad
Úhel ∠ B = β = 67,42327592381° = 67°25'22″ = 1,17767491395 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,07114870347° = 96°4'17″ = 1,6776763766 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,92770791364
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,97875628112
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,69334511818

Těžnice: t_a = 13,36603892159
Těžnice: t_b = 7,98443597113
Těžnice: t_c = 6,59554529791

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,66880102112
Poloměr opsané kružnice: R = 7,03994865723

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[1,53657142857; 3,69334511818]
Těžiště: T[5,17985714286; 1,23111503939]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -0,74545610798]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,66880102112]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,49442462728° = 163°29'39″ = 0,28880797481 rad
∠ B' = β' = 112,57772407619° = 112°34'38″ = 1,17767491395 rad
∠ C' = γ' = 83,92985129653° = 83°55'43″ = 1,6776763766 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 13 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 13 + 14 = 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 4) (15, 5 - 13) (15, 5 - 14) S = 668, 44 = 25, 85

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 , 8 5}{4} = 12, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 , 8 5}{1 3} = 3, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 , 8 5}{1 4} = 3, 69

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}) = 16 ° 3 0^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 4}) = 67 ° 2 5^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 3 0^{'} 21 " - 67 ° 2 5^{'} 22 " = 96 ° 4^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 , 8 5}{1 5 , 5} = 1, 67

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 3 \cdot 1 4}{4 \cdot 1 , 6 6 8 \cdot 1 5 , 5} = 7, 04

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 13, 36 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 984 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 595

Vypočítat další trojúhelník