Trojúhelník 4 13 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 13
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 24
Obvod trojúhelníku: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Úhel ∠ A = α = 14,25500326978° = 14°15' = 0,24987099891 rad
Úhel ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,96655874465 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,69223076923
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,2
Těžnice: ta = 13,89224439894
Těžnice: tb = 8,84659030065
Těžnice: tc = 6,02107972894
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,5
Poloměr opsané kružnice: R = 8,125
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[2,4; 3,2]
Těžiště: T[5,8; 1,06766666667]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -3,125]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,5]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,75499673022° = 165°45' = 0,24987099891 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,96655874465 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=13 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+13+15=32
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−4)(16−13)(16−15) S=576=24
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 24=12 vb=b2 S=132⋅ 24=3,69 vc=c2 S=152⋅ 24=3,2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−42)=14°15′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1542+152−132)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−14°15′−53°7′48"=112°37′11"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1624=1,5
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,5⋅ 164⋅ 13⋅ 15=8,13
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−42=13,892 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 42−132=8,846 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 132−152=6,021
Vypočítat další trojúhelník