Trojúhelník 4 18 18
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 18
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 35,777708764
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Úhel ∠ A = α = 12,75987404169° = 12°45'31″ = 0,22326820287 rad
Úhel ∠ B = β = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,889854382
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,975523196
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,975523196
Těžnice: ta = 17,889854382
Těžnice: tb = 9,43439811321
Těžnice: tc = 9,43439811321
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,7898854382
Poloměr opsané kružnice: R = 9,05660753089
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[0,44444444444; 3,975523196]
Těžiště: T[6,14881481481; 1,325507732]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 1,00662305899]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,7898854382]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,24112595831° = 167°14'29″ = 0,22326820287 rad
∠ B' = β' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
∠ C' = γ' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=18 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+18+18=40
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−4)(20−18)(20−18) S=1280=35,78
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 35,78=17,89 vb=b2 S=182⋅ 35,78=3,98 vc=c2 S=182⋅ 35,78=3,98
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 18182+182−42)=12°45′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1842+182−182)=83°37′14" γ=180°−α−β=180°−12°45′31"−83°37′14"=83°37′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2035,78=1,79
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,789⋅ 204⋅ 18⋅ 18=9,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 182−42=17,889 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 42−182=9,434 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 182−182=9,434
Vypočítat další trojúhelník