Trojúhelník 4 18 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 18
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 25,66600370226
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 7,80329967597° = 7°48'11″ = 0,1366187985 rad
Úhel ∠ B = β = 37,65884620062° = 37°39'30″ = 0,65772641532 rad
Úhel ∠ C = γ = 134,53985412341° = 134°32'19″ = 2,34881405154 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,83300185113
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,85111152247
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,44438130498

Těžnice: t_a = 19,45550764583
Těžnice: t_b = 12,14549578015
Těžnice: t_c = 7,73298124169

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,19334900941
Poloměr opsané kružnice: R = 14,73110777326

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[3,16766666667; 2,44438130498]
Těžiště: T[8,05655555556; 0,81546043499]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -10,3322214243]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,19334900941]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,19770032403° = 172°11'49″ = 0,1366187985 rad
∠ B' = β' = 142,34215379938° = 142°20'30″ = 0,65772641532 rad
∠ C' = γ' = 45,46114587659° = 45°27'41″ = 2,34881405154 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 18 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 18 + 21 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 4) (21, 5 - 18) (21, 5 - 21) S = 658, 44 = 25, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 , 6 6}{4} = 12, 83 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 , 6 6}{1 8} = 2, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 , 6 6}{2 1} = 2, 44

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 1}) = 7 ° 4 8^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2 1}) = 37 ° 3 9^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 7 ° 4 8^{'} 11 " - 37 ° 3 9^{'} 30 " = 134 ° 3 2^{'} 19 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 , 6 6}{2 1 , 5} = 1, 19

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 8 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 1 9 3 \cdot 2 1 , 5} = 14, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 19, 455 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 12, 145 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 7, 73

Vypočítat další trojúhelník