Trojúhelník 4 26 29

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 26
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 36,28327438323
Obvod trojúhelníku: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Úhel ∠ A = α = 5,52327339087° = 5°31'22″ = 0,09663898904 rad
Úhel ∠ B = β = 38,72436358425° = 38°43'25″ = 0,67658549438 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,75436302488° = 135°45'13″ = 2,36993478194 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,14113719161
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,79109802948
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,50222581953

Těžnice: t_a = 27,46881633896
Těžnice: t_b = 16,10990036936
Těžnice: t_c = 11,65111801977

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,23299235197
Poloměr opsané kružnice: R = 20,78112287705

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[3,12106896552; 2,50222581953]
Těžiště: T[10,70768965517; 0,83440860651]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -14,88765533019]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,23299235197]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 174,47772660913° = 174°28'38″ = 0,09663898904 rad
∠ B' = β' = 141,27663641575° = 141°16'35″ = 0,67658549438 rad
∠ C' = γ' = 44,24663697513° = 44°14'47″ = 2,36993478194 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 26 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 26 + 29 = 59

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 4) (29, 5 - 26) (29, 5 - 29) S = 1316, 44 = 36, 28

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 8}{4} = 18, 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 8}{2 6} = 2, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 8}{2 9} = 2, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 2 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 2 9}) = 5 ° 3 1^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2 9}) = 38 ° 4 3^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 5 ° 3 1^{'} 22 " - 38 ° 4 3^{'} 25 " = 135 ° 4 5^{'} 13 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 2 8}{2 9 , 5} = 1, 23

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 2 6 \cdot 2 9}{4 \cdot 1 , 2 3 \cdot 2 9 , 5} = 20, 78

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 27, 468 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 16, 109 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 11, 651

Vypočítat další trojúhelník