Trojúhelník 4 30 30
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 30
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 59,86765181884
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Úhel ∠ A = α = 7,64551074585° = 7°38'42″ = 0,13334322968 rad
Úhel ∠ B = β = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,50440801784 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,50440801784 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 29,93332590942
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,99111012126
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,99111012126
Těžnice: ta = 29,93332590942
Těžnice: tb = 15,26443375225
Těžnice: tc = 15,26443375225
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,87108286934
Poloměr opsané kružnice: R = 15,03334448576
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[0,26766666667; 3,99111012126]
Těžiště: T[10,08988888889; 1,33303670709]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 1,00222296572]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,87108286934]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,35548925415° = 172°21'18″ = 0,13334322968 rad
∠ B' = β' = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,50440801784 rad
∠ C' = γ' = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,50440801784 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=30 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+30+30=64
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−4)(32−30)(32−30) S=3584=59,87
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 59,87=29,93 vb=b2 S=302⋅ 59,87=3,99 vc=c2 S=302⋅ 59,87=3,99
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 30302+302−42)=7°38′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 3042+302−302)=86°10′39" γ=180°−α−β=180°−7°38′42"−86°10′39"=86°10′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=3259,87=1,87
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,871⋅ 324⋅ 30⋅ 30=15,03
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 302−42=29,933 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 42−302=15,264 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 302−302=15,264
Vypočítat další trojúhelník