Trojúhelník 4 6 7




Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4   b = 6   c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 11,9776539567
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Úhel ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Úhel ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad

Výška trojúhelníku: va = 5,98882697835
Výška trojúhelníku: vb = 3,99221798557
Výška trojúhelníku: vc = 3,42218684477

Těžnice: ta = 6,2054836823
Těžnice: tb = 4,84876798574
Těžnice: tc = 3,70880992435

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,40990046549
Poloměr opsané kružnice: R = 3,50768560301

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[2,07114285714; 3,42218684477]
Těžiště: T[3,02438095238; 1,14106228159]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; 0,21991785019]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,40990046549]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=6 c=7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+6+7=17

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=217=8,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=8,5(8,54)(8,56)(8,57) S=143,44=11,98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=42 11,98=5,99 vb=b2 S=62 11,98=3,99 vc=c2 S=72 11,98=3,42

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 6 762+7242)=34°4619"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 742+7262)=58°4841" γ=180°αβ=180°34°4619"58°4841"=86°25

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=8,511,98=1,41

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,409 8,54 6 7=3,51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 62+2 7242=6,205 tb=22c2+2a2b2=22 72+2 4262=4,848 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 6272=3,708

Vypočítat další trojúhelník