Trojúhelník 4 6 7

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 6
c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 11,9776539567
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Úhel ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Úhel ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,98882697835
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,99221798557
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,42218684477

Těžnice: t_a = 6,2054836823
Těžnice: t_b = 4,84876798574
Těžnice: t_c = 3,70880992435

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,40990046549
Poloměr opsané kružnice: R = 3,50768560301

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[2,07114285714; 3,42218684477]
Těžiště: T[3,02438095238; 1,14106228159]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; 0,21991785019]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,40990046549]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 6 c = 7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 6 + 7 = 17

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 8{,}5(8{,}5-4)(8{,}5-6)(8{,}5-7) } \ \\ S = \sqrt{ 8{,}5 \cdot \ 4{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 1{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 143{,}44 } = 11{,}977

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}977 }{ 4 } = 5{,}988 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}977 }{ 6 } = 3{,}992 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}977 }{ 7 } = 3{,}422

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 7}) = 34 ° 4 6^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7}) = 58 ° 4 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 4 6^{'} 19 " - 58 ° 4 8^{'} 41 " = 86 ° 2 5^{'}

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 11{,}977 }{ 8{,}5 } = 1{,}409

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 6 \cdot \ 7 }{ 4 \cdot \ 1{,}409 \cdot \ 8{,}5 } = 3{,}507

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 7^2 - 4^2 } }{ 2 } = 6{,}205 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 4^2 - 6^2 } }{ 2 } = 4{,}848 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 6^2 - 7^2 } }{ 2 } = 3{,}708

Vypočítat další trojúhelník