Trojúhelník 5 10 10




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 10
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 24,20661459138
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,68224583655
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,84112291828
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,84112291828

Těžnice: ta = 9,68224583655
Těžnice: tb = 6,1243724357
Těžnice: tc = 6,1243724357

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,93664916731
Poloměr opsané kružnice: R = 5,16439777949

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[1,25; 4,84112291828]
Těžiště: T[3,75; 1,61437430609]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 1,29109944487]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,93664916731]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=10 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+10+10=25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=252=12,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 25 }{ 2 } = 12{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−5)(12,5−10)(12,5−10) S=12,5⋅ 7,5⋅ 2,5⋅ 2,5 S=585,94=24,206S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5(12{,}5-5)(12{,}5-10)(12{,}5-10) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5 \cdot \ 7{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 2{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 585{,}94 } = 24{,}206

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 24,2065=9,683 vb=2 Sb=2⋅ 24,20610=4,841 vc=2 Sc=2⋅ 24,20610=4,841S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 24{,}206 }{ 5 } = 9{,}683 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 24{,}206 }{ 10 } = 4{,}841 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 24{,}206 }{ 10 } = 4{,}841

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−52​)=28°57′18"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 1052+102−102​)=75°31′21" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−75°31′21"=75°31′21"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=24,20612,5=1,937S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 24{,}206 }{ 12{,}5 } = 1{,}937

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=5⋅ 10⋅ 104⋅ 1,936⋅ 12,5=5,164R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 10 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 1{,}936 \cdot \ 12{,}5 } = 5{,}164

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 102+2⋅ 102−522=9,682 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 52−1022=6,124 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 52+2⋅ 102−1022=6,124t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 10^2 - 5^2 } }{ 2 } = 9{,}682 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 5^2 - 10^2 } }{ 2 } = 6{,}124 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 10^2 - 10^2 } }{ 2 } = 6{,}124

Vypočítat další trojúhelník