Trojúhelník 5 11 15

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 11
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 19,13660262333
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Úhel ∠ A = α = 13,41220116047° = 13°24'43″ = 0,23440837618 rad
Úhel ∠ B = β = 30,6833417109° = 30°41' = 0,53655266543 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,90545712863° = 135°54'16″ = 2,37219822375 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,65444104933
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,4799277497
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,55114701644

Těžnice: t_a = 12,91331715701
Těžnice: t_b = 9,7343961167
Těžnice: t_c = 4,09326763859

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,23545823376
Poloměr opsané kružnice: R = 10,7788099773

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4,3; 2,55114701644]
Těžiště: T[6,43333333333; 0,85504900548]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -7,74106352915]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,23545823376]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,58879883953° = 166°35'17″ = 0,23440837618 rad
∠ B' = β' = 149,3176582891° = 149°19' = 0,53655266543 rad
∠ C' = γ' = 44,09554287137° = 44°5'44″ = 2,37219822375 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 11 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 11 + 15 = 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 5) (15, 5 - 11) (15, 5 - 15) S = 366, 19 = 19, 14

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 , 1 4}{5} = 7, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 , 1 4}{1 1} = 3, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 , 1 4}{1 5} = 2, 55

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 5}) = 13 ° 2 4^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 5}) = 30 ° 4 1^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 2 4^{'} 43 " - 30 ° 4 1^{'} = 135 ° 5 4^{'} 16 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 , 1 4}{1 5 , 5} = 1, 23

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 1 \cdot 1 5}{4 \cdot 1 , 2 3 5 \cdot 1 5 , 5} = 10, 78

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 12, 913 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 734 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 4, 093

Vypočítat další trojúhelník