Trojúhelník 5 12 12
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 12 c = 12Obsah trojúhelníku: S = 29,34217364858
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Úhel ∠ A = α = 24,04993983611° = 24°2'58″ = 0,42197411845 rad
Úhel ∠ B = β = 77,97553008194° = 77°58'31″ = 1,36109257345 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,97553008194° = 77°58'31″ = 1,36109257345 rad
Výška trojúhelníku: va = 11,73766945943
Výška trojúhelníku: vb = 4,89902894143
Výška trojúhelníku: vc = 4,89902894143
Těžnice: ta = 11,73766945943
Těžnice: tb = 6,96441941386
Těžnice: tc = 6,96441941386
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,02435680335
Poloměr opsané kružnice: R = 6,13546062489
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[1,04216666667; 4,89902894143]
Těžiště: T[4,34772222222; 1,63300964714]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 1,27880429685]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 2,02435680335]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,95106016389° = 155°57'2″ = 0,42197411845 rad
∠ B' = β' = 102,02546991806° = 102°1'29″ = 1,36109257345 rad
∠ C' = γ' = 102,02546991806° = 102°1'29″ = 1,36109257345 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=12 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+12+12=29
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−5)(14,5−12)(14,5−12) S=860,94=29,34
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 29,34=11,74 vb=b2 S=122⋅ 29,34=4,89 vc=c2 S=122⋅ 29,34=4,89
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−52)=24°2′58" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1252+122−122)=77°58′31" γ=180°−α−β=180°−24°2′58"−77°58′31"=77°58′31"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=14,529,34=2,02
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,024⋅ 14,55⋅ 12⋅ 12=6,13
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−52=11,737 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 52−122=6,964 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 122−122=6,964
Vypočítat další trojúhelník