Trojúhelník 5 12 16

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 12
c = 16

Obsah trojúhelníku: S = 20,66224659709
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Úhel ∠ A = α = 12,42992571325° = 12°25'45″ = 0,21769314605 rad
Úhel ∠ B = β = 31,10218950349° = 31°6'7″ = 0,5432830472 rad
Úhel ∠ C = γ = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 2,38218307211 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,26549863884
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,44437443285
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,58328082464

Těžnice: t_a = 13,91994109071
Těžnice: t_b = 10,22325241501
Těžnice: t_c = 4,52876925691

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,25222706649
Poloměr opsané kružnice: R = 11,61552641383

Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[4,281125; 2,58328082464]
Těžiště: T[6,76604166667; 0,86109360821]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -8,42110665002]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,25222706649]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,57107428675° = 167°34'15″ = 0,21769314605 rad
∠ B' = β' = 148,89881049652° = 148°53'53″ = 0,5432830472 rad
∠ C' = γ' = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 2,38218307211 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 12 c = 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 12 + 16 = 33

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 5) (16, 5 - 12) (16, 5 - 16) S = 426, 94 = 20, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{5} = 8, 26 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{1 2} = 3, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{1 6} = 2, 58

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 6}) = 12 ° 2 5^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 6}) = 31 ° 6^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 2 5^{'} 45 " - 31 ° 6^{'} 7 " = 136 ° 2 8^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 6 6}{1 6 , 5} = 1, 25

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 2 \cdot 1 6}{4 \cdot 1 , 2 5 2 \cdot 1 6 , 5} = 11, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 13, 919 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 223 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 4, 528

Vypočítat další trojúhelník