Trojúhelník 5 13 13

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 13
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 31,89333770554
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Úhel ∠ A = α = 22,17549784219° = 22°10'30″ = 0,3877026385 rad
Úhel ∠ B = β = 78,9132510789° = 78°54'45″ = 1,37772831343 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,9132510789° = 78°54'45″ = 1,37772831343 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,75773508222
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,90766733931
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,90766733931

Těžnice: t_a = 12,75773508222
Těžnice: t_b = 7,39993242935
Těžnice: t_c = 7,39993242935

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,05876372294
Poloměr opsané kružnice: R = 6,62436322241

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[0,96215384615; 4,90766733931]
Těžiště: T[4,65438461538; 1,63655577977]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 1,27437754277]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 2,05876372294]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,82550215781° = 157°49'30″ = 0,3877026385 rad
∠ B' = β' = 101,0877489211° = 101°5'15″ = 1,37772831343 rad
∠ C' = γ' = 101,0877489211° = 101°5'15″ = 1,37772831343 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 13 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 13 + 13 = 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 5) (15, 5 - 13) (15, 5 - 13) S = 1017, 19 = 31, 89

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 9}{5} = 12, 76 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 9}{1 3} = 4, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 9}{1 3} = 4, 91

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 3}) = 22 ° 1 0^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 3}) = 78 ° 5 4^{'} 45 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 0^{'} 30 " - 78 ° 5 4^{'} 45 " = 78 ° 5 4^{'} 45 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 8 9}{1 5 , 5} = 2, 06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 3 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 0 5 8 \cdot 1 5 , 5} = 6, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 12, 757 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 399 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 399

Vypočítat další trojúhelník