Trojúhelník 5 13 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 13
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 31,56224381188
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Úhel ∠ A = α = 18,88878819509° = 18°53'16″ = 0,33296557288 rad
Úhel ∠ B = β = 57,31663611537° = 57°18'59″ = 11,0003592174 rad
Úhel ∠ C = γ = 103,79657568953° = 103°47'45″ = 1,81215777074 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,62549752475
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,85657597106
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,20883250825
Těžnice: ta = 13,81112273169
Těžnice: tb = 9,09767026993
Těžnice: tc = 6,38435726674
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,91328750375
Poloměr opsané kružnice: R = 7,72327874185
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[2,7; 4,20883250825]
Těžiště: T[5,9; 1,40327750275]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -1,8421587769]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,91328750375]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,11221180491° = 161°6'44″ = 0,33296557288 rad
∠ B' = β' = 122,68436388463° = 122°41'1″ = 11,0003592174 rad
∠ C' = γ' = 76,20442431047° = 76°12'15″ = 1,81215777074 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=13 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+13+15=33
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−5)(16,5−13)(16,5−15) S=996,19=31,56
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 31,56=12,62 vb=b2 S=132⋅ 31,56=4,86 vc=c2 S=152⋅ 31,56=4,21
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−52)=18°53′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1552+152−132)=57°18′59" γ=180°−α−β=180°−18°53′16"−57°18′59"=103°47′45"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=16,531,56=1,91
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,913⋅ 16,55⋅ 13⋅ 15=7,72
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−52=13,811 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 52−132=9,097 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 132−152=6,384
Vypočítat další trojúhelník