Trojúhelník 5 14 16
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 14
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 33,88986042793
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Úhel ∠ A = α = 17,61224390704° = 17°36'45″ = 0,30773950511 rad
Úhel ∠ B = β = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,55554417117
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,84112291828
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,23660755349
Těžnice: ta = 14,82439670804
Těžnice: tb = 9,56655632349
Těžnice: tc = 6,81990908485
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,93664916731
Poloměr opsané kružnice: R = 8,26223644719
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[2,656625; 4,23660755349]
Těžiště: T[6,219875; 1,41220251783]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -2,0665591118]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,93664916731]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,38875609297° = 162°23'15″ = 0,30773950511 rad
∠ B' = β' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=14 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+14+16=35
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−5)(17,5−14)(17,5−16) S=1148,44=33,89
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 33,89=13,56 vb=b2 S=142⋅ 33,89=4,84 vc=c2 S=162⋅ 33,89=4,24
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−52)=17°36′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1652+162−142)=57°54′36" γ=180°−α−β=180°−17°36′45"−57°54′36"=104°28′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,533,89=1,94
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,936⋅ 17,55⋅ 14⋅ 16=8,26
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−52=14,824 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 52−142=9,566 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 142−162=6,819
Vypočítat další trojúhelník