Trojúhelník 5 14 17
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 14
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 30,59441170816
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Úhel ∠ A = α = 14,89876656557° = 14°53'52″ = 0,26600133166 rad
Úhel ∠ B = β = 46,04330532762° = 46°2'35″ = 0,80436028773 rad
Úhel ∠ C = γ = 119,0599281068° = 119°3'33″ = 2,07879764597 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,23876468326
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,37105881545
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,59993078919
Těžnice: ta = 15,37704261489
Těžnice: tb = 10,39223048454
Těžnice: tc = 6,18546584384
Poloměr vepsané kružnice: r = 1.76996731712
Poloměr opsané kružnice: R = 9,72440917006
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[3,47105882353; 3,59993078919]
Těžiště: T[6,82435294118; 1.21997692973]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -4,72331302546]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1.76996731712]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,10223343443° = 165°6'8″ = 0,26600133166 rad
∠ B' = β' = 133,95769467238° = 133°57'25″ = 0,80436028773 rad
∠ C' = γ' = 60,9410718932° = 60°56'27″ = 2,07879764597 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=14 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+14+17=36
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−5)(18−14)(18−17) S=936=30,59
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 30,59=12,24 vb=b2 S=142⋅ 30,59=4,37 vc=c2 S=172⋅ 30,59=3,6
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 17142+172−52)=14°53′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1752+172−142)=46°2′35" γ=180°−α−β=180°−14°53′52"−46°2′35"=119°3′33"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1830,59=1,7
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,7⋅ 185⋅ 14⋅ 17=9,72
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 172−52=15,37 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 52−142=10,392 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 142−172=6,185
Vypočítat další trojúhelník