Trojúhelník 5 15 18

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 15
c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 32,61990128606
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Úhel ∠ A = α = 13,98223106495° = 13°58'56″ = 0,24440373579 rad
Úhel ∠ B = β = 46,45877809718° = 46°27'28″ = 0,81108412411 rad
Úhel ∠ C = γ = 119,56599083787° = 119°33'36″ = 2,08767140546 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,04876051442
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,34992017147
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,62443347623

Těžnice: t_a = 16,37883393542
Těžnice: t_b = 10,87442815855
Těžnice: t_c = 6,63332495807

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,71767901506
Poloměr opsané kružnice: R = 10,34767263538

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[3,44444444444; 3,62443347623]
Těžiště: T[7,14881481481; 1,20881115874]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -5,10443850012]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,71767901506]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,01876893505° = 166°1'4″ = 0,24440373579 rad
∠ B' = β' = 133,54222190282° = 133°32'32″ = 0,81108412411 rad
∠ C' = γ' = 60,44400916213° = 60°26'24″ = 2,08767140546 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 15 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 15 + 18 = 38

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 5) (19 - 15) (19 - 18) S = 1064 = 32, 62

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 2 , 6 2}{5} = 13, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 2 , 6 2}{1 5} = 4, 35 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 2 , 6 2}{1 8} = 3, 62

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 8}) = 13 ° 5 8^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 8}) = 46 ° 2 7^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 5 8^{'} 56 " - 46 ° 2 7^{'} 28 " = 119 ° 3 3^{'} 36 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 2 , 6 2}{1 9} = 1, 72

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 5 \cdot 1 8}{4 \cdot 1 , 7 1 7 \cdot 1 9} = 10, 35

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 16, 378 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 874 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 6, 633

Vypočítat další trojúhelník