Trojúhelník 5 16 18
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 16
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 38,52883986171
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Úhel ∠ A = α = 15,51990244034° = 15°31'8″ = 0,27108580725 rad
Úhel ∠ B = β = 58,89110774895° = 58°53'28″ = 1,02878432022 rad
Úhel ∠ C = γ = 105,59898981071° = 105°35'24″ = 1,84328913788 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 15,41113594468
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,81660498271
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,28109331797
Těžnice: ta = 16,84548805279
Těžnice: tb = 10,51218980208
Těžnice: tc = 7,71436243103
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,97658153137
Poloměr opsané kružnice: R = 9,34437571485
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[2,58333333333; 4,28109331797]
Těžiště: T[6,86111111111; 1,42769777266]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -2,51111347337]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,97658153137]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,48109755966° = 164°28'52″ = 0,27108580725 rad
∠ B' = β' = 121,10989225105° = 121°6'32″ = 1,02878432022 rad
∠ C' = γ' = 74,41101018929° = 74°24'36″ = 1,84328913788 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=16 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+16+18=39
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−5)(19,5−16)(19,5−18) S=1484,44=38,53
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 38,53=15,41 vb=b2 S=162⋅ 38,53=4,82 vc=c2 S=182⋅ 38,53=4,28
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 18162+182−52)=15°31′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1852+182−162)=58°53′28" γ=180°−α−β=180°−15°31′8"−58°53′28"=105°35′24"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,538,53=1,98
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,976⋅ 19,55⋅ 16⋅ 18=9,34
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 182−52=16,845 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 52−162=10,512 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 162−182=7,714
Vypočítat další trojúhelník