Trojúhelník 5 17 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 17
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 36,66106055596
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Úhel ∠ A = α = 12,45437005943° = 12°27'13″ = 0,21773580794 rad
Úhel ∠ B = β = 47,15663569564° = 47°9'23″ = 0,82330336921 rad
Úhel ∠ C = γ = 120,39899424493° = 120°23'24″ = 2,1011200882 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,66442422239
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,31330124188
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,6666060556

Těžnice: t_a = 18,39215741577
Těžnice: t_b = 11,84327192823
Těžnice: t_c = 7,55498344353

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,74657431219
Poloměr opsané kružnice: R = 11,59328254188

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[3,4; 3,6666060556]
Těžiště: T[7,8; 1,22220201853]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -5,86546058001]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,74657431219]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,54662994057° = 167°32'47″ = 0,21773580794 rad
∠ B' = β' = 132,84436430436° = 132°50'37″ = 0,82330336921 rad
∠ C' = γ' = 59,61100575507° = 59°36'36″ = 2,1011200882 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 17 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 17 + 20 = 42

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 5) (21 - 17) (21 - 20) S = 1344 = 36, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 6 6}{5} = 14, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 6 6}{1 7} = 4, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 6 6}{2 0} = 3, 67

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 12 ° 2 7^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 2 0}) = 47 ° 9^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 2 7^{'} 13 " - 47 ° 9^{'} 23 " = 120 ° 2 3^{'} 24 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 6 6}{2 1} = 1, 75

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 1 , 7 4 6 \cdot 2 1} = 11, 59

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 18, 392 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 11, 843 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 7, 55

Vypočítat další trojúhelník