Trojúhelník 5 28 28

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 28
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 69,72204238369
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 10,24550321996° = 10°14'42″ = 0,17988095439 rad
Úhel ∠ B = β = 84,87774839002° = 84°52'39″ = 1,48113915549 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,87774839002° = 84°52'39″ = 1,48113915549 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 27,88881695348
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,98800302741
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,98800302741

Těžnice: t_a = 27,88881695348
Těžnice: t_b = 14,44395290782
Těžnice: t_c = 14,44395290782

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,28659155356
Poloměr opsané kružnice: R = 14,05661394505

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[0,44664285714; 4,98800302741]
Těžiště: T[9,48221428571; 1,66600100914]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 1,25550124509]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 2,28659155356]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,75549678004° = 169°45'18″ = 0,17988095439 rad
∠ B' = β' = 95,12325160998° = 95°7'21″ = 1,48113915549 rad
∠ C' = γ' = 95,12325160998° = 95°7'21″ = 1,48113915549 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 28 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 28 + 28 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 5) (30, 5 - 28) (30, 5 - 28) S = 4860, 94 = 69, 72

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 9 , 7 2}{5} = 27, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 9 , 7 2}{2 8} = 4, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 9 , 7 2}{2 8} = 4, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 8 ^{2} + 2 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 2 8 \cdot 2 8}) = 10 ° 1 4^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 2 8}) = 84 ° 5 2^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 1 4^{'} 42 " - 84 ° 5 2^{'} 39 " = 84 ° 5 2^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 9 , 7 2}{3 0 , 5} = 2, 29

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 2 8 \cdot 2 8}{4 \cdot 2 , 2 8 6 \cdot 3 0 , 5} = 14, 06

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 27, 888 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 14, 44 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 14, 44

Vypočítat další trojúhelník