Trojúhelník 5 8 11




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 8
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 18,33303027798
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Úhel ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Úhel ∠ B = β = 41,80218441931° = 41°48'7″ = 0,73295798146 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,98223131729 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,33221211119
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,5832575695
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,33327823236

Těžnice: ta = 9,28770878105
Těžnice: tb = 7,55498344353
Těžnice: tc = 3,77549172176

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,52875252317
Poloměr opsané kružnice: R = 6,00109919815

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,72772727273; 3,33327823236]
Těžiště: T[4,90990909091; 1,11109274412]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -2,44003967926]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,52875252317]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 138,19881558069° = 138°11'53″ = 0,73295798146 rad
∠ C' = γ' = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,98223131729 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=8 c=11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+8+11=24

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=224=12

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=12(125)(128)(1211) S=12 7 4 1 S=336=18,33S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 12(12-5)(12-8)(12-11) } \ \\ S = \sqrt{ 12 \cdot \ 7 \cdot \ 4 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 336 } = 18{,}33

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2 18,335=7,332 vb=2 Sb=2 18,338=4,583 vc=2 Sc=2 18,3311=3,333S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18{,}33 }{ 5 } = 7{,}332 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18{,}33 }{ 8 } = 4{,}583 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18{,}33 }{ 11 } = 3{,}333

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 8 1182+11252)=24°3712"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 5 1152+11282)=41°487" γ=180°αβ=180°24°3712"41°487"=113°3441"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=18,3312=1,528S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 18{,}33 }{ 12 } = 1{,}528

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=5 8 114 1,528 12=6,001R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 8 \cdot \ 11 }{ 4 \cdot \ 1{,}528 \cdot \ 12 } = 6{,}001

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2a22=2 82+2 112522=9,287 tb=2c2+2a2b22=2 112+2 52822=7,55 tc=2a2+2b2c22=2 52+2 821122=3,775t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 11^2 - 5^2 } }{ 2 } = 9{,}287 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 5^2 - 8^2 } }{ 2 } = 7{,}55 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 8^2 - 11^2 } }{ 2 } = 3{,}775

Vypočítat další trojúhelník