Trojúhelník 5 8 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 8 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 18,33303027798
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12
Úhel ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Úhel ∠ B = β = 41,80218441931° = 41°48'7″ = 0,73295798146 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,98223131729 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,33221211119
Výška trojúhelníku: vb = 4,5832575695
Výška trojúhelníku: vc = 3,33327823236
Těžnice: ta = 9,28770878105
Těžnice: tb = 7,55498344353
Těžnice: tc = 3,77549172176
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,52875252317
Poloměr opsané kružnice: R = 6,00109919815
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,72772727273; 3,33327823236]
Těžiště: T[4,90990909091; 1,11109274412]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -2.44003967926]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,52875252317]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 138,19881558069° = 138°11'53″ = 0,73295798146 rad
∠ C' = γ' = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,98223131729 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=8 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+8+11=24
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=224=12
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12(12−5)(12−8)(12−11) S=336=18,33
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 18,33=7,33 vb=b2 S=82⋅ 18,33=4,58 vc=c2 S=112⋅ 18,33=3,33
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−52)=24°37′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1152+112−82)=41°48′7" γ=180°−α−β=180°−24°37′12"−41°48′7"=113°34′41"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1218,33=1,53
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,528⋅ 125⋅ 8⋅ 11=6
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−52=9,287 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 52−82=7,55 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 82−112=3,775
Vypočítat další trojúhelník