Trojúhelník 5 9 9
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 9 c = 9Obsah trojúhelníku: S = 21,61545205822
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 32,25552404263° = 32°15'19″ = 0,56329601465 rad
Úhel ∠ B = β = 73,87223797868° = 73°52'21″ = 1,28993162536 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,87223797868° = 73°52'21″ = 1,28993162536 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,64658082329
Výška trojúhelníku: vb = 4,80332267961
Výška trojúhelníku: vc = 4,80332267961
Těžnice: ta = 8,64658082329
Těžnice: tb = 5,72327615711
Těžnice: tc = 5,72327615711
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,88795235289
Poloměr opsané kružnice: R = 4,68443509489
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[1,38988888889; 4,80332267961]
Těžiště: T[3,4632962963; 1,60110755987]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 1,30112085969]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,88795235289]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,74547595737° = 147°44'41″ = 0,56329601465 rad
∠ B' = β' = 106,12876202132° = 106°7'39″ = 1,28993162536 rad
∠ C' = γ' = 106,12876202132° = 106°7'39″ = 1,28993162536 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=9 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+9+9=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−5)(11,5−9)(11,5−9) S=467,19=21,61
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 21,61=8,65 vb=b2 S=92⋅ 21,61=4,8 vc=c2 S=92⋅ 21,61=4,8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−52)=32°15′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 952+92−92)=73°52′21" γ=180°−α−β=180°−32°15′19"−73°52′21"=73°52′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,521,61=1,88
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,88⋅ 11,55⋅ 9⋅ 9=4,68
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−52=8,646 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 52−92=5,723 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 92−92=5,723
Vypočítat další trojúhelník