Trojúhelník 5 9 9




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 5   b = 9   c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 21,61545205822
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 32,25552404263° = 32°15'19″ = 0,56329601465 rad
Úhel ∠ B = β = 73,87223797868° = 73°52'21″ = 1,28993162536 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,87223797868° = 73°52'21″ = 1,28993162536 rad

Výška trojúhelníku: va = 8,64658082329
Výška trojúhelníku: vb = 4,80332267961
Výška trojúhelníku: vc = 4,80332267961

Těžnice: ta = 8,64658082329
Těžnice: tb = 5,72327615711
Těžnice: tc = 5,72327615711

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,88795235289
Poloměr opsané kružnice: R = 4,68443509489

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[1,38988888889; 4,80332267961]
Těžiště: T[3,4632962963; 1,60110755987]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 1,30112085969]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,88795235289]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,74547595737° = 147°44'41″ = 0,56329601465 rad
∠ B' = β' = 106,12876202132° = 106°7'39″ = 1,28993162536 rad
∠ C' = γ' = 106,12876202132° = 106°7'39″ = 1,28993162536 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=9 c=9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+9+9=23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=223=11,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=11,5(11,55)(11,59)(11,59) S=467,19=21,61

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=52 21,61=8,65 vb=b2 S=92 21,61=4,8 vc=c2 S=92 21,61=4,8

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 992+9252)=32°1519"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 5 952+9292)=73°5221" γ=180°αβ=180°32°1519"73°5221"=73°5221"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=11,521,61=1,88

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,88 11,55 9 9=4,68

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 9252=8,646 tb=22c2+2a2b2=22 92+2 5292=5,723 tc=22a2+2b2c2=22 52+2 9292=5,723

Vypočítat další trojúhelník