Trojúhelník 50 50 50
Rovnostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 50
b = 50
c = 50
Obsah trojúhelníku: S = 1082,53217547306
Obvod trojúhelníku: o = 150
Semiperimeter (poloobvod): s = 75
Úhel ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 43,30112701892
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 43,30112701892
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 43,30112701892
Těžnice: ta = 43,30112701892
Těžnice: tb = 43,30112701892
Těžnice: tc = 43,30112701892
Poloměr vepsané kružnice: r = 14,43437567297
Poloměr opsané kružnice: R = 28,86875134595
Souřadnice vrcholů: A[50; 0] B[0; 0] C[25; 43,30112701892]
Těžiště: T[25; 14,43437567297]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[25; 14,43437567297]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[25; 14,43437567297]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=50 b=50 c=50
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=50+50+50=150
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2150=75
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=75(75−50)(75−50)(75−50) S=1171875=1082,53
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=502⋅ 1082,53=43,3 vb=b2 S=502⋅ 1082,53=43,3 vc=c2 S=502⋅ 1082,53=43,3
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 50⋅ 50502+502−502)=60° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 50⋅ 50502+502−502)=60° γ=180°−α−β=180°−60°−60°=60°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=751082,53=14,43
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 14,434⋅ 7550⋅ 50⋅ 50=28,87
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 502+2⋅ 502−502=43,301 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 502+2⋅ 502−502=43,301 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 502+2⋅ 502−502=43,301
Vypočítat další trojúhelník