Trojúhelník 6 10 11
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 10 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 29,76547022495
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 32,76437577589° = 32°45'50″ = 0,57218354482 rad
Úhel ∠ B = β = 64,41769980226° = 64°25'1″ = 1,12442887097 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad
Výška trojúhelníku: va = 9,92215674165
Výška trojúhelníku: vb = 5,95329404499
Výška trojúhelníku: vc = 5,41217640454
Těžnice: ta = 10,07547208398
Těžnice: tb = 7,31443694192
Těžnice: tc = 6,14441028637
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,20547927592
Poloměr opsané kružnice: R = 5,54334789375
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[2,59109090909; 5,41217640454]
Těžiště: T[4,53303030303; 1,80439213485]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 0,69329348672]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,20547927592]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,23662422411° = 147°14'10″ = 0,57218354482 rad
∠ B' = β' = 115,58330019774° = 115°34'59″ = 1,12442887097 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=10 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+10+11=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−6)(13,5−10)(13,5−11) S=885,94=29,76
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 29,76=9,92 vb=b2 S=102⋅ 29,76=5,95 vc=c2 S=112⋅ 29,76=5,41
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−62)=32°45′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−102)=64°25′1" γ=180°−α−β=180°−32°45′50"−64°25′1"=82°49′9"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,529,76=2,2
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,205⋅ 13,56⋅ 10⋅ 11=5,54
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−62=10,075 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−102=7,314 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 102−112=6,144
Vypočítat další trojúhelník