Trojúhelník 6 10 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 10
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 29,93332590942
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,97877530314
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,98766518188
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,98988765157

Těžnice: t_a = 10,63301458127
Těžnice: t_b = 8,06222577483
Těžnice: t_c = 5,65768542495

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,13880899353
Poloměr opsané kružnice: R = 6,0133377943

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,33333333333; 4,98988765157]
Těžiště: T[5,11111111111; 1,66329588386]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -0,40108918629]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,13880899353]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 10 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 10 + 12 = 28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14(14-6)(14-10)(14-12) } \ \\ S = \sqrt{ 14 \cdot \ 8 \cdot \ 4 \cdot \ 2 } \ \\ S = \sqrt{ 896 } = 29{,}933

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 29{,}933 }{ 6 } = 9{,}978 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 29{,}933 }{ 10 } = 5{,}987 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 29{,}933 }{ 12 } = 4{,}989

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 29 ° 5 5^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 2}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 5^{'} 35 " - 56 ° 1 5^{'} 4 " = 93 ° 4 9^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 29{,}933 }{ 14 } = 2{,}138

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 6 \cdot \ 10 \cdot \ 12 }{ 4 \cdot \ 2{,}138 \cdot \ 14 } = 6{,}013

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 12^2 - 6^2 } }{ 2 } = 10{,}63 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 12^2+2 \cdot \ 6^2 - 10^2 } }{ 2 } = 8{,}062 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 10^2 - 12^2 } }{ 2 } = 5{,}657

Vypočítat další trojúhelník