Trojúhelník 6 13 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 13
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 38,67881592116
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Úhel ∠ A = α = 23,37219828432° = 23°22'19″ = 0,40879180533 rad
Úhel ∠ B = β = 59,26221313279° = 59°15'44″ = 1,03443193134 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,3665885829° = 97°21'57″ = 1,69993552868 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,89327197372
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,95504860326
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,15770878949
Těžnice: ta = 13,71113092008
Těžnice: tb = 9,3944147114
Těžnice: tc = 6,80107352544
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,2755185836
Poloměr opsané kružnice: R = 7,56224074662
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[3,06766666667; 5,15770878949]
Těžiště: T[6,02222222222; 1,71990292983]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -0,97695394187]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,2755185836]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,62880171568° = 156°37'41″ = 0,40879180533 rad
∠ B' = β' = 120,73878686721° = 120°44'16″ = 1,03443193134 rad
∠ C' = γ' = 82,6344114171° = 82°38'3″ = 1,69993552868 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=13 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+13+15=34
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−6)(17−13)(17−15) S=1496=38,68
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 38,68=12,89 vb=b2 S=132⋅ 38,68=5,95 vc=c2 S=152⋅ 38,68=5,16
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−62)=23°22′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1562+152−132)=59°15′44" γ=180°−α−β=180°−23°22′19"−59°15′44"=97°21′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1738,68=2,28
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,275⋅ 176⋅ 13⋅ 15=7,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−62=13,711 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 62−132=9,394 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 132−152=6,801
Vypočítat další trojúhelník