Trojúhelník 6 14 15

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 14
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 41,9643525829
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Úhel ∠ A = α = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Úhel ∠ B = β = 68,83215511542° = 68°49'54″ = 1,20113371969 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,52991175944 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,9887841943
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,99547894041
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,59551367772

Těžnice: t_a = 14,19550695666
Těžnice: t_b = 9,02877350426
Těžnice: t_c = 7,73298124169

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,39879157617
Poloměr opsané kružnice: R = 7,50765189061

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[2,16766666667; 5,59551367772]
Těžiště: T[5,72222222222; 1,86550455924]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 0,31327716211]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,39879157617]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
∠ B' = β' = 111,16884488458° = 111°10'6″ = 1,20113371969 rad
∠ C' = γ' = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,52991175944 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 14 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 14 + 15 = 35

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 6) (17, 5 - 14) (17, 5 - 15) S = 1760, 94 = 41, 96

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{6} = 13, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 4} = 5, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 5} = 5, 6

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 23 ° 3 3^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 5}) = 68 ° 4 9^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 3 3^{'} 23 " - 68 ° 4 9^{'} 54 " = 87 ° 3 6^{'} 43 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 9 6}{1 7 , 5} = 2, 4

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 3 9 8 \cdot 1 7 , 5} = 7, 51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 14, 195 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 9, 028 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 7, 73

Vypočítat další trojúhelník