Trojúhelník 6 17 18
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 17
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 50,99993872512
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Úhel ∠ A = α = 19,47109772519° = 19°28'16″ = 0,34398326616 rad
Úhel ∠ B = β = 70,81098855373° = 70°48'36″ = 1,23658656456 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,71991372109° = 89°43'9″ = 1,56658943464 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 176,9997957504
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 65,9999279119
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,66765985835
Těžnice: ta = 17,24881883107
Těžnice: tb = 10,3880269746
Těžnice: tc = 9,02877350426
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,48877749879
Poloměr opsané kružnice: R = 99,0001081334
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[1,97222222222; 5,66765985835]
Těžiště: T[6,65774074074; 1,88988661945]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 0,04441181771]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,48877749879]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,52990227482° = 160°31'44″ = 0,34398326616 rad
∠ B' = β' = 109,19901144628° = 109°11'24″ = 1,23658656456 rad
∠ C' = γ' = 90,28108627891° = 90°16'51″ = 1,56658943464 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=17 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+17+18=41
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−6)(20,5−17)(20,5−18) S=2600,94=51
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 51=17 vb=b2 S=172⋅ 51=6 vc=c2 S=182⋅ 51=5,67
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 18172+182−62)=19°28′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1862+182−172)=70°48′36" γ=180°−α−β=180°−19°28′16"−70°48′36"=89°43′9"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=20,551=2,49
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,488⋅ 20,56⋅ 17⋅ 18=9
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 182−62=17,248 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 62−172=10,38 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 172−182=9,028
Vypočítat další trojúhelník